(補足)微小ループアンテナの理論(2)無線従事者国家試験出題式の応用としての解法

※ 今回のところは、昔、無線通信士や無線技術士の国家試験を受けたかたなら、その出題の解法として、見覚えがある式ばかりではないでしょうか?当時、学生だった私も意味がわからないまま、まる覚えの公式として使っていました。しかし、今なら、これらの式の意味合いが少しわかるようになっています。その式の意味することがわかることがここでは重要なのです。それは、これらの式を応用して、アンテナ問題を解くことができるようになるということです。※

さて、前回の続きで
 次に、微小ループアンテナとその等価磁気モーメントについてです。第3.38図のように、微小ループ電流と磁気双極子を考えた場合、中心から同じ距離zの点の磁界が図(a)と図(b)で等しければ、これらは等価であるといえます。

第3.38図微小円形電流とその磁気モーメント.png

 したがって、図(a)の場合、その磁界Haはビオ・サバールの法則を適用して

※アンテナ本には、この導出は省略されていますが、電磁気本からの電流による磁界のところを参照して、当ブログオリジナルに解説します。

 Idsは、コイルの電流素とし、それによる磁界をdHとすると

 dH=Ids/4πd^2=Ids/{4π(a^2+z^2)}
 dHをz軸方向成分dH1とそれに垂直成分dH2に分解して
 dH1=dHsinφ=aIds/{4π(a^2+z^2)^3/2}
 dH2=dHcosφ=zIds/{4π(a^2+z^2)^3/2}

  ここでφはdとzとの角度で、三角形の辺a、z、d=(a^2+z^2)^1/2の関係から
   sinφ=a/(a^2+z^2)^1/2
   cosφ=z/(a^2+z^2)^1/2

 dH2は、dsの中心点O点に関して、対称にある電流素ds’の作る成分で打ち消しあって、円形電流全体としては0となることから

 ∴ H=∫dH1 =(3.186)式を得ます。


(または、等価板磁石の考え方から

 測定点から円形電流を見た立体角を求めるため、測定点を中心としたR=√(a^2+z^2)の半径となる球面を考えます。

 円電流はこの球面にあることから円電流を底辺とする小わん球面の面積Sを考えますとz辺からα,α+dα
 (α;小わん球面内のある角度、dα;微小増加角度)
 の角内にある微小面積dSは、dS=2πR^2sinαdαですから
   φ
 S=∫2πR^2sinαdα
   0

 ここでφは、3.38図のとおりですから、cosφ=z/√(a^2+z^2)です。

 したがって、測定点から円形電流を見た立体角ωは

 S=S/R^2=2π{1-z/√(a^2+z^2)}

 となります。

 これから、磁位Uは、U=Iω/4π

 ∴

 U=(I/2){1-z/√(a^2+z^2)}


∇;微分演算子ナブラ ;z方向の単位ベクトル

             a^2I
 =-∇U=────────────── 
         2(a^2+z^2)^(3/2)

 と考えてもよい。)



Ha=(I/4πd^2)×(a/d)×2πa

      a^2I
 =──────────── [AT/m] ......(3.186)
  2(a^2+z^2)^(3/2)

(3.186)式において、a^2≪z^2のとき、分母のaの二乗は無視できますから

   a^2I
Ha≒───── [AT/m] ......(3.187)
   2z^3


また、図(b)の場合も同様に アンテナ本では省略している
磁気に関するクーロンの法則から求まる式 H=m/4πμr^2 式により

その磁界Hbは、
             1         1
Hb=(m/4πμ){─────── - ───────}
            Δl        Δl
         (z-──)^2  (z+───)^2
             2         2


 ≒(m/4πμ)・(2Δlz/z^4)

 =mΔl/2πμz^3   .....(3.188)

となります。

ここで、Ha=Hbと置いて

a^2I=mΔl/πμ

∴ mΔl=μIπa^2

πa^2は、ループの面積Sに等しいので

mΔl=μIS   ......(3.189)

となります。


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