（補足）波動方程式の一般解とベッセルの微分方程式の関連（６）円筒座標（円柱座標）（３）▽2ψの展開式

　ＰＣの更新の問題の続きです。検討した結果、
ＤＩＯボード（ＰＣＩ仕様）（無線機電源コントロール用リレー基板）
のドライバーソフトの対応が追いついていないため
Ｗｉｎ８．１導入ＰＣは採用できないことが判明しました。
旧のＷｉｎ８への対応は、この１２月中に可能とのことでしたが、
これとは別に業務用ＰＣの採用Ｏ／Ｓは多くが
ｗｉｎ７を導入しているとの情報もあって、こちらに決定しました。
しかし、新品で購入できるＷｉｎ７対応ＰＣの種類が
少なく、製品選択の自由度がありません。
結局、デスクトップタイプは、組み立てＰＣのＤＳＰ版
Ｗｉｎ８．１からのダウングレードで対応可能だったので、それにしました。
一方、ノートＰＣは、Ｏ／Ｓがプリインストールされている状態でしか
購入できませんので、Ｗｉｎ８モデルでありながら
ｗｉｎ７も入っていて、最初にどちらかを選択できるモデル機種
があるビジネスモデルを選択することにしました。

　円筒座標におけるベクトルの公式の後半です。

（３）回転（ｒｏｔＡ）

　極座標のところでの説明のとおり

※（ベクトル解析の直交曲線座標（その５）
　　　　回転（ｒｏｔＡ）の表示
　　http://jo3krp-o.at.webry.info/201210/article_4.html
　　を参照して下さい。）

　一般的な回転の式は

　ｒｏｔＡ＝▽×Ａ

　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　ｈ１ｉ１　　　　ｈ２ｉ２　　　　ｈ３ｉ３　｜

　　　　　＝（１／ｈ１ｈ２ｈ３）｜∂／∂ｕ１　∂／∂ｕ２　∂／∂ｕ３｜

　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　ｈ１Ａ１　　　　ｈ２Ａ２　　　ｈ３ｉ３　｜


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．（１．８３）

　ここへ　円筒座標のパラメータを代入しますと

　　　　　　　　　　｜　　ｉρ　　　　　ρｉφ　　　　　ｉｚ　｜
　　　　
ｒｏｔＡ＝（１／ρ）｜∂／∂ρ　∂／∂φ　∂／∂ｚ｜

　　　　　　　　　　｜　　Ａρ　　　　ρＡφ　　　　Ａｚ　｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．（１．８９）


（４）ラプラシアン（▽2ψ）

　▽2ψ＝▽・▽ψ

　ですから

　式（１．７４）を式（１．７９）に代入すればよいので

　式（１．７９）において　Ａｉ＝（１／ｈｉ）∂ψ／∂ｕｉ

　ここで、ｉ＝１，２，３を順にとります。

　▽2ψ＝（１／ｈ１ｈ２ｈ３）［∂／∂ｕ１｛（ｈ２ｈ３／ｈ１）∂ψ／∂ｕ１｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　＋∂／∂ｕ２｛（ｈ１ｈ３／ｈ２）∂ψ／∂ｕ２｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋∂／∂ｕ３｛（ｈ１ｈ２／ｈ３｝／∂ψ／∂ｕ３｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．（１．８５）

　ここへ、円筒座標のパラメータを代入しますと

　▽2ψ＝（１／ρ）｛∂／∂ρ（ρ∂ψ／∂ρ）｝

　　　　　　　　　　　　＋（１／ρ2）｛∂2ψ／∂φ2｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋∂2ψ／∂ｚ2　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．（１．９０）


　となって、これが今回の微分方程式を解くために必要な式なのです。

（以上、予習として円筒座標で解く微分方程式の補足を完了）