ベクトル計算補足（２）ベクトル外積とレビチビタ記号

２　ベクトル外積とレビチビタ記号

Ａ＝（Ａ１，Ａ２，Ａ３）

Ｂ＝（Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３）

に対して、分配則と基底ベクトルの外積

の関係を用いて　Ａ×Ｂを計算します。

Ａ×Ｂ＝（Ａ１ｅ１＋Ａ２ｅ２＋Ａ３ｅ３）×（Ｂ１ｅ１＋Ｂ２ｅ２＋Ｂ３ｅ３）

　　　＝（Ａ２Ｂ３－Ｂ２Ａ３）ｅ１

　　　　　　＋（Ａ３Ｂ１－Ｂ３Ａ１）ｅ２

　　　　　　　　＋（Ａ１Ｂ２－Ｂ１Ａ２）ｅ３

となるお馴染みの外積の３成分の表示となります。

　（この計算方法は、たすきがけの規則として

　　　Ａ１　Ｂ１
　　　　　×　　　→　Ａ１Ｂ２－Ｂ１Ａ２　第３成分
　　　Ａ２　Ｂ２
　　　　　×　　　→　Ａ２Ｂ３－Ｂ２Ａ３　第１成分
　　　Ａ３　Ｂ３
　　　　　×　　　→　Ａ３Ｂ１－Ｂ３Ａ１　第２成分
　　　Ａ１　Ｂ１

　　∴Ａ×Ｂ　

　　　　＝（Ａ２Ｂ３－Ｂ２Ａ３，Ａ３Ｂ１－Ｂ３Ａ１，Ａ１Ｂ２－Ｂ１Ａ２）

　　）


ここで、基底ベクトルどうしの外積を考えますと

ｅｉ×ｅｊ　において　

（１）添え字ｉ＝ｊのときは

　　　全てゼロベクトルとなります。

（２）ｉ≠ｊのときは

　　　第３の基底ベクトルに代わり

　　　そのとき、係数で、１または－１が付いてきます。


　ここで、内積ではクロネッカーデルタ記号で

基底ベクトルの表現をすることができたように

外積においても同様な記号を採用しますと

それが、レビチビタ記号です。

そしてレビチビタ記号を使って基底ベクトルどうし

外積を書きますと

ｅｉ×ｅｊ＝εijk ｅk

となるのです。


そして　レビチビタ記号の定義は前にも書きましたが

（レビチビタ記号の定義）

　εijk　とは

　　（１）　ｉｊｋのうち２つまたは３つが同じ添え字を持つときは

　　　　　値をゼロとします。

　　　　　例　ε112＝ε333＝０


　　（２）　ε123＝１


　　（３）　ｉｊｋすべてが異なるときのみ値１又は－１をとります。

　　　　　但し、添え字の配列が偶数個の置き換えで１２３にできるとき＝１

　　　　　奇数個の置き換えで１２３にできるとき＝－１

　　　　　（ここで置き換えとは、２個の添え字の入れ替える操作です。

　　　　　　３個同時に動かすことはできません。）

　　　　　　例　ε321＝－ε123　∴　－１

　　　　　　　　ε231＝－ε213＝ε123　∴　１

　　　　　　というように、添え字を入れ替えるごとに－１倍していき

　　　　　　最後にε123＝１が出てくるように操作します。


よって

Ａ×Ｂ＝Ａｉ ｅｉ×Ｂｊ ｅｊ

　　　＝Ａｉ Ｂｊ ｅｉ×ｅｊ

　　　＝Ａｉ Ｂｉ εijk ｅｋ

　　　＝εkij Ａｉ Ｂｊ ｅｋ


（１から３まで足される添え字は

　一番先頭に置きます。

　ここでは、ｋが該当します。）


（εkij＝－εikj＝εijk＝１

　となって正の係数です。）


以上のまとめによって、

ベクトルの外積の式には

レビチビタ記号が

使用できるようになりました。