曲線座標表示（曲線上）線積分と接線ベクトル

今回からのメインは、曲線の弧長（曲線の長さ）をどのようにして求めるかと

曲線に接する接線方向となる接線ベクトルをどのように表示できるかの

２点に置いています。

８　線積分

（１）　スカラー場の線積分

ある関数の経路に沿った積分を線積分というのでした。

ここでは、図のように

スカラー場φ（ｘ，ｙ，ｚ）内の

２点Ａ，Ｂを結ぶ曲線Ｃの方程式は


ｒ（ｓ）＝ｘ（ｓ）ｉ＋ｙ（ｓ）ｊ＋ｚ（ｓ）ｋ　

としますと

Ｃ上のｓ＝ａ，ｓ＝ｂで与えられる２点を

それぞれＡ，Ｂとします。

ここで、ｓとは、曲線Ｃの弧長のことです。

（ｄｓは、弧長の微小量を意味します。）

このとき、積分

ｂ
∫φ（ｘ（ｓ），ｙ（ｓ），ｚ（ｓ））ｄｓ
ａ

を曲線Ｃに沿ったφの線積分といい、

　∫φｄｓ　とか　∫　　φｄｓ
　Ｃ　　　　　　　Ａ→Ｂ

というように表します。

ここで

ｄｓ＝√｛（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＋（ｄｚ）＾2　｝

よって

√｛（ｄｘ／ｄｓ）^2＋（ｄｙ／ｄｓ）^2＋（ｄｚ／ｄｓ）＾2　｝＝１

となりますので

曲線Ｃの接線ベクトルｔ（ｓ）は、

ｔ（ｓ）＝ｒ’（ｓ）＝（ｄｘ／ｄｓ）ｉ＋（ｄｙ／ｄｓ）ｊ＋（ｄｚ／ｄｓ）ｋ　

（ｒ’（ｓ）はベクトルｒ（ｓ）をｓで微分したもの）

ですから

ゆえに

｜ｔ｜＝１　

　※｜　｜絶対値表示

この接線ベクトル ｔ は単位ベクトルです。


次の項目は、今までの復習となります。

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（２）　ベクトル場の線積分

ベクトルＡ（ｘ，ｙ，ｚ）内で

ｒ（ｓ）＝ｘ（ｓ）ｉ＋ｙ（ｓ）ｊ＋ｚ（ｓ）ｋ　　

で表す曲線Ｃを考えて

上図のように

Ｃ上のｓ＝ａ、ｓ＝ｂで与えられる任意の２点を

それぞれＡ，Ｂとします。

ここで　ｓは曲線Ｃの弧長です。

曲線Ｃの接線方向の単位ベクトルをｔとします、

Ａ＝Ａｘｉ＋Ａｙｊ＋Ａｚｋのとき

ｂ
∫Ａ（ｘ（ｓ），ｙ（ｓ），ｚ（ｓ））・ｔｄｓ
ａ

　　　ｂ
　　＝∫｛（Ａｘ（ｄｘ／ｄｓ）＋Ａｙ（ｄｙ／ｄｓ）＋Ａｚ（ｄｚ／ｄｓ）｝ｄｓ
　　　ａ

　　＝∫Ａｘｄｘ＋∫Ａｙｄｙ＋∫Ａｚｄｚ
　　　Ｃ　　　　　Ｃ　　　　　Ｃ

となって、Ａの曲線Ｃに沿った線積分といいます。

そして

　　＝∫Ａ・ｔｄｓ　＝∫Ａ・ｄｒ　
　　　Ｃ　　　　　　　Ｃ

と表します。

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