「ストークスの回転定理」の証明（その１）微小長方形での証明
ストークスの回転定理は
ベクトル関数Ｆ（ｒ）を閉じた曲線Ｌ上で一周線積分した結果は、
Ｌを線とする任意の曲面Ｓ上での面積積分によって次のように示せます。
∮Ｆ（ｒ）・ｄｒ＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ ．．．．（１）
S
この証明は、次のような微小な長方形の図から求めます。
法線ベクトルｎ（ｒ）は、図の矢の先端方向で表すように
Ｌの線積分のとる方向に対して、右ねじを巻いたときに進む方向となります。
∮は、閉じた経路にそって一周する線積分を行うことを意味します。
右辺の∫の下にある「S」は、面積分であることを意味します。
上記式は、両辺ともにベクトル関数ですが、内積なので
結果は、どちらもスカラー量となります。
また、両辺とも座標系のとり方には依存しません。
そのため、上図のような微小な長方形に沿った線積分を想定します。
座標系はどうとっても結果は同じとなりますから
ここでは、長方形の横をｘ軸に、縦をｙ軸にとっています。
長方形の中心座標を（ｘ，ｙ，ｚ）としています。
長方形の横の長さをΔｘ、縦の長さをΔｙとしています。
すると、線積分は４つの辺、Ｌ１～Ｌ４上までの積分に
分けることができます。
（証明は先の補足内の定積分の定理で説明済み）
ｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ）は、今回、長方形の中心点となる位置を示すため
これとｘとｙの変数は違うことを明示して、
ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ）をいう変数で式（１）右辺を示せば
（ｚはｘｙ平面では、常に一定なので、長方形中心の位置ｚとなる。）
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ Ｌ１ Ｌ２
＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ３ Ｌ４
ここで Ｌ１とＬ３に注目しますと
ｙ’位置とｚ位置は一定なので、ｄｒ’＝（ｄｘ’，０，０）
同様にＬ２とＬ４は
ｘ’位置とｚ位置が一定なので ｄｒ’＝（０，ｄｙ’，０）
となります。
そうしますと
関数Ｆ（ｒ’）のｘ方向成分をＦｘ（ｒ’）として
ｙ’＝ｙ－Δｙ／２で一定、ｚ座標位置はここでは、常にｚであるので
Ｌ１の線積分は
ｘ＋Δｘ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｘ（ｘ’，ｙ－Δｙ／２，ｚ）ｄｘ’
Ｌ１ ｘ－Δｘ／２
ここで、Ｌ１上のｘ座標の中央点をｘ’＝ｘとした積分式への近似値を適用しますと
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ―Δ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ１
となります。
なぜならば
ｘ、ｙ、ｚは、長方形の中心点となる位置座標を示します。
Ｆｘは、関数Ｆ（ｒ’）のｘ方向成分です。
定積分関数の近似計算を求めるために補足でやりました
定積分における「平均値の定理」を使いますと
∫Ｆｘｄｘの値は
Ｌ１
Ｆｘ（ｘ－Δｘ／２，ｙ－Δ／２，ｚ）と
Ｆｘ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ－Δ／２，ｚ）の
中間値すなわちｘ’＝ｘである場合の
Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δ／２，ｚ）に
Ｌ１の長さ、すなわちΔｘを掛けた面積であると
と近似することができます。
―――――――――――――――――――――――――――――――
（補足の積分における平均値の定理からの公式）
ｂ
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｂ－ａ）ｆ（ξ）
ａ
但し ξ＝ａ＋θ（ｂ－ａ） （０＜θ＜１）
ｂ－ａ＝（ｘ＋Δｘ／２）－（ｘ－Δｘ／２）＝Δｘ
ここで ξは、
ａ＝ｘ－Δｘ／２
ｂ＝ｘ＋Δｘ／２
であるので、この中間値が求めるξとすると
θ＝１／２として
ξ＝（ｘ－Δｘ／２）＋｛ｘ＋Δｘ－（ｘ－Δｘ）｝／２
＝ｘ
となるので
ｆ（ξ）＝ｆ（ｘ）
ここでは、３次元空間を示す式で表現しますので
ｘ’＝ξ＝ｘとなって
これを上式のＦｘ（ｘ’，ｙ―Δｙ／２，ｚ）に代入したものとなって
Ｆｘ（ｘ，ｙ―Δｙ／２，ｚ）
これに平均値の定理の（ｂ－ａ）＝Δｘを掛けることで
このＦｘの定積分の近似値が求まりますから
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ１
となりました。
※これを説明するために定積分の補足として
積分での平均値の定理を先に実施したのです。
――――――――――――――――――――――――――――――――
同様な考えをＬ３に適用すると
Ｌ３の線積分は、図面から見て
ｘ－Δｘ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｘ（ｘ’，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）ｄｘ’
Ｌ３ ｘ＋Δｘ／２
＝Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）（－Δｘ）
となります。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
なぜならば
ｙ’＝ｙ＋Δｙ／２とｚは一定なので、変化なし。
ｘ’＝ξ＝ｘ－Δｘ／２－｛ｘ－Δｘ／２－（ｘ＋Δｘ／２）｝／２＝ｘ
ｂ－ａ ＝ｘ－Δｘ／２－（ｘ＋Δｘ／２） ＝－Δｘ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
次にＬ２上でのｙ座標の代表点は、
長方形の中心点となる位置の座標である
ｙ’＝ｙが中央値と考えた場合となり
Ｌ２の線積分は
ｙ＋Δｙ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ’，ｚ）ｄｙ’
Ｌ２ ｙ－Δｙ／２
＝Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）Δｙ
Ｌ４の線積分は
ｙ－Δｙ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ’，ｚ）ｄｙ’
Ｌ４ ｙ＋Δｙ／２
＝Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）（－Δｙ）
と求めることができます。
そして
これらＬ２～Ｌ４の線積分の計算結果を全て足し込みますと
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ
＋Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）Δｙ
＋Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）（－Δｘ）
＋Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）（－Δｙ）
＝（１／Δｙ）｛Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）－Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）｝ΔｘΔｙ
＋（１／Δｘ）｛Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）－Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）ΔｘΔｙ
Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）－Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）
＝｛ ――――――――――――――――――――
Δｘ
Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）－Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）
－ ―――――――――――――――――――― ｝ΔｘΔｙ
Δｙ
ここで、この極限をとると｛ ｝内で示す式は、
それぞれ、∂Ｆｙ／∂ｘと∂Ｆｘ／∂ｙを表す偏微分の定義のかたちとなって
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ
→｛∂Ｆｙ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｘ－∂Ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｙ｝ΔｘΔｙ
＝｛∂Ｆｙ（ｒ）／∂ｘ－∂Ｆｘ（ｒ）／∂ｙ｝ΔｘΔｙ
ここで｛ ｝の部分は、関数Ｆ（ｒ）の回転 [▽×Ｆ（ｒ）]のｚ方向成分となります。
そして、法線ベクトルｎがｘｙ平面に垂直な単位ベクトルなのですから
ｎ（ｒ）＝（０，０，１）です。
そして、この微小長方形についての面積分を見れば
ΔＳ＝ΔｘΔｙですから上記のΔｘΔｙ項は、ΔSに置き換えできます。
さらに積分式に置き換えますとΔSは、ｄSと表記が書き換わりますから
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ
＝[｛▽×Ｆ（ｒ）｝ｚ成分]ΔｘΔｙ
＝[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ΔＳ
＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ
ΔS
と積分式からの展開式を逆に元へ戻していくと積分式で示せました。
すなわち
∮Ｆ（ｒ）・ｄｒ＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ ．．．．（2）
Ｌ ΔS
となって
これで、微小な長方形ならば、最初に示した式が成り立つことを証明できました。
ここでは、両辺ともスカラーであるがゆえに
座標のとりかたに関係せず、式（2）が成り立つと言えます。
（前記事の訂正についてのお知らせ）
前回の「ストークスの回転定理」のアンテナ本による解説で
電流Ｉ 、電流密度Ｊ、磁界回転量ｒｏｔＨ等をスカラーとするための
面積ΔＳの法線方向単位ベクトルｎとの内積で表示すべき部分が
・ｎ の記載がもれていましたので、訂正しました。
アンテナ本自体がこの表示を省略して書いているので
左辺がベクトル量なのに右辺がスカラー量であったりしています。
そのような式は、ベクトル計算ではありえません。
必ず、式の片辺がベクトルならば、他辺はベクトルに、
片辺がスカラーならば、他辺はスカラーとなります。
それを今回統一するように法線方向ベクトルとの内積を示し、
その結果、スカラー量であることを明示したものです。
また、数学の定積分から物理の線積分までの解説部分も
一部訂正した箇所があります。
こちらは、内容の誤りではなく、表記の問題のみです。
（今回の微小長方形の証明でも誤り訂正がありました。）
図面において ｘ＋Δｘ／２ と ｘ－Δｘ／２の位置が反対だったので
正しい図面へと差し替えました。
また、内容が誤りではありませんが、
まず、ｘ’＝ｘ、ｙとｚは一定となる条件で
Ｌ１での説明を最後まで完遂して説明をし
次に、その考えをＬ３に適用して説明をした後
今度は、ｙ’＝ｙ ｘとｚは一定とした条件を
Ｌ２とＬ４へ適用して
各線分に対する数式の説明順番へと入れ替えています。
ベクトル関数Ｆ（ｒ）を閉じた曲線Ｌ上で一周線積分した結果は、
Ｌを線とする任意の曲面Ｓ上での面積積分によって次のように示せます。
∮Ｆ（ｒ）・ｄｒ＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ ．．．．（１）
S
この証明は、次のような微小な長方形の図から求めます。
法線ベクトルｎ（ｒ）は、図の矢の先端方向で表すように
Ｌの線積分のとる方向に対して、右ねじを巻いたときに進む方向となります。
∮は、閉じた経路にそって一周する線積分を行うことを意味します。
右辺の∫の下にある「S」は、面積分であることを意味します。
上記式は、両辺ともにベクトル関数ですが、内積なので
結果は、どちらもスカラー量となります。
また、両辺とも座標系のとり方には依存しません。
そのため、上図のような微小な長方形に沿った線積分を想定します。
座標系はどうとっても結果は同じとなりますから
ここでは、長方形の横をｘ軸に、縦をｙ軸にとっています。
長方形の中心座標を（ｘ，ｙ，ｚ）としています。
長方形の横の長さをΔｘ、縦の長さをΔｙとしています。
すると、線積分は４つの辺、Ｌ１～Ｌ４上までの積分に
分けることができます。
（証明は先の補足内の定積分の定理で説明済み）
ｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ）は、今回、長方形の中心点となる位置を示すため
これとｘとｙの変数は違うことを明示して、
ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ）をいう変数で式（１）右辺を示せば
（ｚはｘｙ平面では、常に一定なので、長方形中心の位置ｚとなる。）
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ Ｌ１ Ｌ２
＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＋∫Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ３ Ｌ４
ここで Ｌ１とＬ３に注目しますと
ｙ’位置とｚ位置は一定なので、ｄｒ’＝（ｄｘ’，０，０）
同様にＬ２とＬ４は
ｘ’位置とｚ位置が一定なので ｄｒ’＝（０，ｄｙ’，０）
となります。
そうしますと
関数Ｆ（ｒ’）のｘ方向成分をＦｘ（ｒ’）として
ｙ’＝ｙ－Δｙ／２で一定、ｚ座標位置はここでは、常にｚであるので
Ｌ１の線積分は
ｘ＋Δｘ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｘ（ｘ’，ｙ－Δｙ／２，ｚ）ｄｘ’
Ｌ１ ｘ－Δｘ／２
ここで、Ｌ１上のｘ座標の中央点をｘ’＝ｘとした積分式への近似値を適用しますと
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ―Δ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ１
となります。
なぜならば
ｘ、ｙ、ｚは、長方形の中心点となる位置座標を示します。
Ｆｘは、関数Ｆ（ｒ’）のｘ方向成分です。
定積分関数の近似計算を求めるために補足でやりました
定積分における「平均値の定理」を使いますと
∫Ｆｘｄｘの値は
Ｌ１
Ｆｘ（ｘ－Δｘ／２，ｙ－Δ／２，ｚ）と
Ｆｘ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ－Δ／２，ｚ）の
中間値すなわちｘ’＝ｘである場合の
Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δ／２，ｚ）に
Ｌ１の長さ、すなわちΔｘを掛けた面積であると
と近似することができます。
―――――――――――――――――――――――――――――――
（補足の積分における平均値の定理からの公式）
ｂ
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｂ－ａ）ｆ（ξ）
ａ
但し ξ＝ａ＋θ（ｂ－ａ） （０＜θ＜１）
ｂ－ａ＝（ｘ＋Δｘ／２）－（ｘ－Δｘ／２）＝Δｘ
ここで ξは、
ａ＝ｘ－Δｘ／２
ｂ＝ｘ＋Δｘ／２
であるので、この中間値が求めるξとすると
θ＝１／２として
ξ＝（ｘ－Δｘ／２）＋｛ｘ＋Δｘ－（ｘ－Δｘ）｝／２
＝ｘ
となるので
ｆ（ξ）＝ｆ（ｘ）
ここでは、３次元空間を示す式で表現しますので
ｘ’＝ξ＝ｘとなって
これを上式のＦｘ（ｘ’，ｙ―Δｙ／２，ｚ）に代入したものとなって
Ｆｘ（ｘ，ｙ―Δｙ／２，ｚ）
これに平均値の定理の（ｂ－ａ）＝Δｘを掛けることで
このＦｘの定積分の近似値が求まりますから
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ１
となりました。
※これを説明するために定積分の補足として
積分での平均値の定理を先に実施したのです。
――――――――――――――――――――――――――――――――
同様な考えをＬ３に適用すると
Ｌ３の線積分は、図面から見て
ｘ－Δｘ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｘ（ｘ’，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）ｄｘ’
Ｌ３ ｘ＋Δｘ／２
＝Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）（－Δｘ）
となります。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
なぜならば
ｙ’＝ｙ＋Δｙ／２とｚは一定なので、変化なし。
ｘ’＝ξ＝ｘ－Δｘ／２－｛ｘ－Δｘ／２－（ｘ＋Δｘ／２）｝／２＝ｘ
ｂ－ａ ＝ｘ－Δｘ／２－（ｘ＋Δｘ／２） ＝－Δｘ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
次にＬ２上でのｙ座標の代表点は、
長方形の中心点となる位置の座標である
ｙ’＝ｙが中央値と考えた場合となり
Ｌ２の線積分は
ｙ＋Δｙ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ’，ｚ）ｄｙ’
Ｌ２ ｙ－Δｙ／２
＝Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）Δｙ
Ｌ４の線積分は
ｙ－Δｙ／２
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝∫Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ’，ｚ）ｄｙ’
Ｌ４ ｙ＋Δｙ／２
＝Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）（－Δｙ）
と求めることができます。
そして
これらＬ２～Ｌ４の線積分の計算結果を全て足し込みますと
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’＝Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）Δｘ
Ｌ
＋Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）Δｙ
＋Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）（－Δｘ）
＋Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）（－Δｙ）
＝（１／Δｙ）｛Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）－Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）｝ΔｘΔｙ
＋（１／Δｘ）｛Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）－Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）ΔｘΔｙ
Ｆｙ（ｘ＋Δｘ／２，ｙ，ｚ）－Ｆｙ（ｘ－Δｘ／２，ｙ，ｚ）
＝｛ ――――――――――――――――――――
Δｘ
Ｆｘ（ｘ，ｙ＋Δｙ／２，ｚ）－Ｆｘ（ｘ，ｙ－Δｙ／２，ｚ）
－ ―――――――――――――――――――― ｝ΔｘΔｙ
Δｙ
ここで、この極限をとると｛ ｝内で示す式は、
それぞれ、∂Ｆｙ／∂ｘと∂Ｆｘ／∂ｙを表す偏微分の定義のかたちとなって
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ
→｛∂Ｆｙ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｘ－∂Ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｙ｝ΔｘΔｙ
＝｛∂Ｆｙ（ｒ）／∂ｘ－∂Ｆｘ（ｒ）／∂ｙ｝ΔｘΔｙ
ここで｛ ｝の部分は、関数Ｆ（ｒ）の回転 [▽×Ｆ（ｒ）]のｚ方向成分となります。
そして、法線ベクトルｎがｘｙ平面に垂直な単位ベクトルなのですから
ｎ（ｒ）＝（０，０，１）です。
そして、この微小長方形についての面積分を見れば
ΔＳ＝ΔｘΔｙですから上記のΔｘΔｙ項は、ΔSに置き換えできます。
さらに積分式に置き換えますとΔSは、ｄSと表記が書き換わりますから
∮Ｆ（ｒ’）・ｄｒ’
Ｌ
＝[｛▽×Ｆ（ｒ）｝ｚ成分]ΔｘΔｙ
＝[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ΔＳ
＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ
ΔS
と積分式からの展開式を逆に元へ戻していくと積分式で示せました。
すなわち
∮Ｆ（ｒ）・ｄｒ＝∫[▽×Ｆ（ｒ）]・ｎ（ｒ）ｄＳ ．．．．（2）
Ｌ ΔS
となって
これで、微小な長方形ならば、最初に示した式が成り立つことを証明できました。
ここでは、両辺ともスカラーであるがゆえに
座標のとりかたに関係せず、式（2）が成り立つと言えます。
（前記事の訂正についてのお知らせ）
前回の「ストークスの回転定理」のアンテナ本による解説で
電流Ｉ 、電流密度Ｊ、磁界回転量ｒｏｔＨ等をスカラーとするための
面積ΔＳの法線方向単位ベクトルｎとの内積で表示すべき部分が
・ｎ の記載がもれていましたので、訂正しました。
アンテナ本自体がこの表示を省略して書いているので
左辺がベクトル量なのに右辺がスカラー量であったりしています。
そのような式は、ベクトル計算ではありえません。
必ず、式の片辺がベクトルならば、他辺はベクトルに、
片辺がスカラーならば、他辺はスカラーとなります。
それを今回統一するように法線方向ベクトルとの内積を示し、
その結果、スカラー量であることを明示したものです。
また、数学の定積分から物理の線積分までの解説部分も
一部訂正した箇所があります。
こちらは、内容の誤りではなく、表記の問題のみです。
（今回の微小長方形の証明でも誤り訂正がありました。）
図面において ｘ＋Δｘ／２ と ｘ－Δｘ／２の位置が反対だったので
正しい図面へと差し替えました。
また、内容が誤りではありませんが、
まず、ｘ’＝ｘ、ｙとｚは一定となる条件で
Ｌ１での説明を最後まで完遂して説明をし
次に、その考えをＬ３に適用して説明をした後
今度は、ｙ’＝ｙ ｘとｚは一定とした条件を
Ｌ２とＬ４へ適用して
各線分に対する数式の説明順番へと入れ替えています。
"「ストークスの回転定理」の証明（その１）微小長方形での証明" へのコメントを書く