電磁気理論第３弾 その１ ベクトルの基本計算「内積」

今回から始まる第３弾は、予告のとおり

アマチュア無線の国家試験で名前が出てくる

ビオ・サバールの法則を用いて解説します。

なお、ビオとサバールは、それぞれ別の人名です。

電線に電流を流すことにより生ずる磁気の強さを

実験から求めた法則であると理解しています。

この式からベクトル化した式を誘導して

新たな「ベクトルポテンシャル」を書き加えていくものです。


※ベクトルポテンシャルは、静磁気のところで習います。

　従って今は、未知のベクトルです。


　　また、静電場では、似たような関数で

　スカラーポテンシャルがあります。

　このスカラーポテンシャルとは

　静電場の場合の電位のことで

　２点間の電位の差を電位差と呼び、

　普通に電圧と称しているものです。

　従って、なんら難しいものではありません。


静磁気では、ベクトルポテンシャルを

先の静電場の電位にちなみ

「磁位」と呼んでいる本もありますが、

ここでは、その表記を使用していません。

（なぜならば、この理論では磁場をＢ（＝磁束密度）としているので）



前回使用した公式を書きます。

ここで、任意のベクトル関数　Ｃ（ｒ、ｔ）に対して

成り立つ公式

　∇×（∇×Ｃ）　＝　∇（∇・Ｃ）－（∇＾２）Ｃ　　・・・（２）

　　ここで　∇＾２　は　「ラプラシアン」というもので

　　　∇＝（∂／∂ｘ）＋（∂／∂ｙ）＋（∂／∂ｚ）

　に対して、

　　こちらは、偏微分を２回する意味をもつ記号で

　　　∇＾２＝∇・∇＝（∂＾２／∂ｘ＾２）＋（∂＾２／∂ｙ＾２）＋（∂＾２／∂ｚ＾２）

　を単に記号化して表示しているものです。

ここの使われている数学式は、

　　・　＝内積

　×　＝外積

だけです。


（ベクトル内積計算の基本より）

この意味を考えていきます。

　ベクトルＡ＝（Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ）

　　　〃　　Ｂ＝（Ｂｘ，Ｂｙ，Ｂｚ）

　※単にｘ、ｙ、ｚ成分を行列表示したもの

それぞれ、ｘ、ｙ、ｚに対応した単位ベクトル（大きさが１で方向を表す。）

ｉ，ｊ，ｋで表します。

これで表示すると

　Ａ＝Ａｘｉ＋Ａｙｊ＋Ａｚｋ

　Ｂ＝Ｂｘｉ＋Ｂｙｊ＋Ｂｚｋ

と同じ意味となります。


ここで、計算に必要な数学知識として

次の２つです。

一つ目は、　

高校数学で習っているはずのベクトルどうしの内積です。


　内積　Ａ・Ｂ　＝｜Ａ｜｜Ｂ｜cosθ


となって、この結果は、スカラー値でした。

（ベクトルと違い、方向成分i,j,kを持たない。）

このｘ、ｙ、ｚ成分を互いに掛け合わせたものを

求めるのですが、

これの場合は、各方向成分が一致したものが、残ります。

なぜならば

　i・i　＝１

　ｊ・ｊ　＝１

　ｋ・ｋ＝１

また、他の掛け合わせでは

　ｉ・ｊ＝０

　ｊ・ｋ＝０

　ｋ・ｉ＝０

よって

　例えば　ＡｙとＢｚ成分どうしだと結果は、０となって

ゆえに

　Ａ・Ｂ　＝　AxBx＋ＡｙＢy＋ＡｚＢｚ

赤線部記入ミスを訂正

となって、同方向成分だけの組み合わせと同時に

スカラーの値となることもわかります。


ここで、演算子∇（ナブラ）の定義から

　∇＝（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ，∂／∂ｚ）

ですから、

これを普通のベクトルのｘ、ｙ、ｚ成分と見立てて

内積計算すれば

　∇・Ａ＝∂Ａｘ／∂ｘ＋∂Ａｙ／∂ｙ＋∂Ａｚ／∂ｚ

となります。


式の意味合いは、Ａの微分値を求めることですが、

各方向成分での微分となる　ｄ／ｄｘ　ではなく、

偏微分の∂／∂ｘ（らうんどｘと呼ぶ。）

と表示しています。

すなわち、ｘ成分の微分計算では、

ｘだけが変数の扱いで

他のｙ、ｚ変数は、単なる定数です。


この∇・Ａのベクトル解析での意味は、「発散」となります。

又は、ｄｉｖＡ　と書いて　ダイバージェンスＡと呼びます。

この意味の深いところは、

静電気のところで解説することとします。

今は、意味を知らなくても計算は簡単にできます。



次回は、もう一つのかけ算、外積をやります。

今回の主役は、この外積計算です。

計算も内積に較べ、ややこしいのですが、

概念的に理解するのがもっと難しいようで

これを理解できれば、

ベクトルはもうマスターしたと思います。