高調波アンテナ理論(28)電界強度と放射インピーダンス(12)正弦積分

　本編の「（２倍波）無給電方式アンテナ」とその比較対象とした「（２倍波）ダブルダブレットアンテナ」とのMMANAを使用しての解析も本日記事で完了しています。その裏付けとなる「高調波アンテナ」に関しての理論も今回と合わせて後２回で完了する予定となりました。
　今どきの無線工学本では、このあたりまで掘り下げて、詳しい解説に出会わなくなっています。これらと関係する理論式は、その結果式だけの表示で終わってしまって、式と式の関係性を辿ることが難しい傾向にあるように感じています。


　　　　　2nπ　1－cosu　　　　　　　2nπ 　sinu
Ｚr＝ｊ30∫　　──────ｄu　＋j30∫　　────du　....(3.259)
　　　　　0　　　　u　　　　　　　　0　 　　u

nは、正の整数（1,2,3､････）


　同様にして、(3.259)式の右辺第２項の正弦積分Ｓi(x)も

　　　　x　sinu　　　x　 1　　　　u^3　　u^5
Ｓi(x)＝∫　───du＝∫ ──(u－ ─── ＋ ─── －････ )du
　　　　0　　u　　 　0　 u　　　　3!　 　　5!

　　　　　　ｘ^3　　　x^5
　　　＝ｘ－─── ＋ ─── － ････
　　　　　 　3･3!　　　5･5!

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.....(3.263)


　（∵　sinｕをテーラー展開するとは、

　　　　sinとcosのn階微分とマクローリン展開
　　　　　https://manabitimes.jp/math/1158

　　　　での結果を参照してください。
　　）

これらのグラフを第3.54図に掲げます。





（※　第3.54図をエクセルグラフで掲載することは、今回省略しています。
代わりに次のサイトでの計算によるグラフ描画したグラフと掲載しました。
　　「生活や実務に役立つ計算サイト」にある
　　三角関数積分 Si(x),Ci(x)（グラフ）
　　https://keisan.casio.jp/exec/system/1166087047

　※）

　これらの積分形を使って、半波長のn倍の長さの高調波アンテナの放射インピーダンスＺrは、

Ｚr＝30{Cin(2nπ)＋jＳi(2nπ)}

　　＝30{log(2nπ)＋0.577－Ｃi(2nπ)＋jＳi(2nπ)}　....(2.264)

　ｘが1よりもじゅうぶん大きいとき、Ｃi(x)は2πの周期で変動しながら0に収束し、

　　　　　sinｘ
Ｃi(x)≒─────　　....(3.265)
　　　　　　ｘ


Ｓi(x)はπ/2に収束し、

　　　　　π　　　cosｘ
Ｓi(x)≒───－─────　　....(3.266)
　　　　　 2　　　　ｘ

という近似式を使用することができます。