高調波アンテナ理論(22)電界強度と放射インピーダンス(6)偶数倍波の場合(1)

　前回の結果から放射インピーダンスＺrを求めるには、nが偶数のときとｎが奇数のときで求める式が異なることがわかりました。そこで、まず先にnが偶数の場合について考えます。
　ここにおいて必要なことは、定積分についての置換積分を使用する場合の知識です。不定積分との違いは、積分範囲まで置換積分によって、変わることに留意します。
（参考）
　定積分の基本
　　https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/definite_integral1.htm
　定積分の置換積分法
　　https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/tikan1.htm
あたりが参考となると思います。


(本論)
ｎが偶数のとき

　　　　βI0　　　　　　　
Wr　＝───｜Az(l)－Az(0)｜　　....（3.255）
　　　　jωε


　したがって、放射インピーダンスＺrは、ｎが偶数のとき、（3.255）式から

Ｚr＝Ｗr／I0^2

　　　　β　　　l　　ｅ^-jβ(l-z)　　　　ｅ^-jβz
　＝─────∫　(───────　－──────)sinβzｄz　....（3.257）
　　　j4πεω　0　　　ｌ－ｚ　　　　　　　ｚ

右辺の積分の前の係数は、β＝ω√(εμ)ですから、自由空間（ε＝ε0、μ＝μ0）では、

　　β　　　　　－ｊ　　μ0
──────＝───√(───)＝－j30
　j4πεω　　　　4π　　　ε0


（∵　上の中式に

　　μ0＝4π×10^-7、ε0＝１／（36π×10^9)を代入しますと

　　－ｊ（1/4π）√(144π^2)×10^2＝－j120π/4π＝－j30

　　を得ます。

　）


　(3.257)式の積分の第１項について

2β(l－z)＝u　　...(a)

と置いて置換積分しますと

ｚ＝0　で　u＝2βl＝2nπ　（∵　ｌ＝nλ/2　β＝2π／λ）

ｚ＝l　で　u＝0　（∵　u＝2β(ｌ－l）＝0　）

(a)の両辺をｚで微分しますと

ｄu＝－2βdz

また、(a)式から　2βz＝2βl－u＝2nπ－u、よって　βz＝nπ－u/2

これから　

sinβz＝sin(nπ－u/2)＝－sin(u／2)　

　（∵三角関数の基本的な性質から代表として次の記事から参照しますと

　 三角関数の公式一覧
　　　https://sci-pursuit.com/math/trigonometric-function-formulae.html

　　　sin（2n'π＋θ）＝sinθ　n'は、整数1，2，･･･　

　　　sin(－θ)＝-sinθ

　　　なお、上記のnは偶数ですからn＝2n'なので

　　　sin(nπ－θ)＝－sinθ　θ＝u/2を代入しますと上式となります。

　　）　

したがって、

ｌ　ｅ^-jβ(l-z)　　　　　　　 0　　ｅ^-j(u/2)
∫──────── sinβzdz＝∫　─────── sin(u／2)ｄu　　　　　　　　　　　　　　　
0　　　l－z　　　　　　　　2nπ　　　u