電磁気学本第６章・６．５良導体内の電磁波（３）良導体内の平均電力損失

前回の説明を証明する練習問題として

　導体の一部で、単位表面積、長さ無限大の次の図となる

四角柱について考えます。

この四角柱の単位長さあたりの瞬時電力損失は、｜ｉ｜2／κ

ですから、この四角柱全体の平均電力損失は

　∞　　　　　　　　　　∞
∫（ｉox2／２κ）ｄｚ　＝∫（ｉm2／２κ）ε-2z/δｄｚ
　０　　　　　　　　　　　０

　　　　　　　　　　　　＝　（ｉm2／４κ）δ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．（ａ）

　※（　上式のエプシロン部分だけを抜き出しますと

　　　　∫ε-2zｄｚ　＝－（１／２）ε-2z　

　　　微分公式　ｄ（εax）ｄｘ＝ａεax　より
　　　
　　　ｄε-2z／ｄｚ＝－２ε-2z　

　　　　両辺をｄｚで積分すると

　　　　ε-2z＝－２∫ε-2zｄｚ

　　　　よって

　　　∫ε-2zｄｚ＝－（１／２）ε-2z　

　　　ここで積分範囲を０から∞としますと

　　　　　　　　　　　　　　∞
　　　［－（１／２）ε-2z　］
　　　　　　　　　　　　　　０

　　　　＝－（０－１／２）

　　　　＝１／２

　　　（　ε0＝１　ε-∞→０　）

　　　１／２を代入すれば式（ａ）を得ます。

　　　）

また四角柱の全電流は

　　∞　　　　　∞
Ｉ＝∫ｉoxｄｚ＝∫ｉm ε-z/δ ε-jz/δ ｄｚ 　
　　０　　　　　０

　　　　　　　＝ｉmδ／（１＋ｊ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．（ｂ）


　※（エプシロンの積分式だけを抜き出しますと

　　　　∫ε-z/δ ε-jz/δ ｄｚ

　　　　　　＝∫ε-(1+j)z/δ　ｄｚ

　　　　　　＝｛－δ／（１＋ｊ）｝ε-(1+j)z/δ　


　　　式（ａ）と同様に積分範囲を０から∞では

　　　　　　＝－｛　０－δ／（１＋ｊ）｝

　　　　　　＝（１＋ｊ）／δ

　　　これをＩの式に代入しますと式（ｂ）を得ます。

　　　）

したがって、その実効値Ｉe＝（１／√２）｜I｜

　　　　　　　　　　　　　＝（１／√２）（ｉm δ／√２）

　　　　　　　　　　　　　＝ｉm δ／２　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．（ｃ）


この全電流が上図に示すように、厚さδの表面層中を

一様な分布で流れるのですから、この体積δ（１×１×δ）

となる直方体の平均電力損失は

（ｉm δ／２）2（１／κ）（１／δ）

　　＝ｉm2 δ／４κ　　．．．．（ｄ）

となって、式（ａ）となることから前回の説明が

正しいことを証明できました。

　ここでは、無限大の厚みをもつ導体で考えましたが

電流分布は指数関数的に減少しますので、

δの数倍の厚みをもつ導体でしたら、上述のことと

ほぼ同じことが成立するのです。