第２章･･･ポイチングベクトル･複素電力･･･交流ベクトルへの補足（一般ベクトルとの違い）
交流理論でのベクトルと一般のベクトル（電磁気学やアンテナ理論でいう
「空間ベクトル」のことで、通常は３次元で表現します。）との
考え方の相違について今回注目してみました。
そして
一般ベクトル（空間ベクトル）と
複素平面上に表した回転ベクトル（複素ベクトル）との
計算の違いについての説明を交流電力を事例にとり説明します。
（解答）
一般のベクトルは空間内で（３次元的に）与えられていますが、
交流理論で用いる回転ベクトルは、平面内で計算できるように
複素平面で考えています。
一般ベクトルの乗法（かけ算のこと）には、スカラ積（内積のこと）と
ベクトル積（外積のこと）がありますが、複素平面の場合には
これらのことは考えません。単に複素数の積だけを取り扱います。
次に平面上に表した二つのベクトルを
Ａ＝ｉａ１＋ｊａ２
｝．．．（ａ）
Ｂ＝ｉｂ１＋ｊｂ２
ここで、ｉ，ｊは、それぞれｘ，ｙ方向の単位ベクトルとします。
これが、複素平面では、ｘ方向の単位ベクトルｉは省略して、
次のように置いています。
Ａ＝ａ１＋ｊａ２
｝．．．（ｂ）
Ｂ＝ｂ１＋ｊｂ２
まず、式（ａ）で表すベクトルの計算例を示しますと
（和と差）
Ａ±Ｂ＝ｉ（ａ１＋ｂ１）±ｊ（ａ２＋ｂ２） ．．．（ｃ）
（積）
Ａ・Ｂ＝（ｉａ１＋ｊａ２）（ｉｂ１＋ｊｂ２）
＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２
＝ＡＢｃｏｓθ （スカラ積）
．．．（ｄ）
Ａ×Ｂ＝（ｉａ１＋ｊａ２）×（ｉｂ１＋ｊｂ２）
＝ｋ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）
＝ｋＡＢｓｉｎθ （ベクトル積）
．．．（ｅ）
ここで、ｋはｚ軸方向の単位ベクトルです。
※（今までの電磁気学でのベクトル計算を
２次元（平面）で計算しただけなので
何も難しいところはありません。）
一方、式（ｂ）で表す複素ベクトルの
和と差については、式（ｃ）のｉ＝１
と置くことにより、一致しています。
ところが、積については、
ＡＢ＝（ａ１＋ｊａ２）（ｂ１＋ｊｂ２）
＝（ａ１ｂ１－ａ２ｂ２）＋ｊ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１） ．．．（ｆ）
となりますから、式（ｄ）や式（ｅ）の値とは
何も関係していないことがわかります。
ここで、交流電力について考えますと
交流電力は電圧と電流による仕事ですから
電圧をＡ、電流をＢとして、その相差角をθとしますと
スカラ積ＡＢｃｏｓθで得ることができます。
また、無効電力は、ＡＢｓｉｎθのベクトル積で
得ることができます。
そこで、このような結果を得るためには
前回の事前知識編（１３）で説明しましたように
ＡまたはＢの共役複素数
Ａ*＝ａ１－ｊａ２
｝ ．．．（ｇ）
Ｂ*＝ｂ１－ｊｂ２
を用いて計算すれば
たとえば
ＡＢ*＝（ａ１＋ｊａ２）（ｂ１－ｊｂ２）
＝（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２）＋ｊ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）
となって、
実部はスカラ積、
虚部はベクトル積
というようなかたちになるのです。
(無効電力について）
本文中に無効電力の定義をきちんと
述べていませんでした。
第２章･･･ポイチングベクトル･複素電力･･･の事前知識編（１１）
平均電力最終とこれまでの理論へ補足
http://jo3krp-o.at.webry.info/201310/article_2.html
で表示した波形のような電力となります。
このときは、θ＝π／２ （９０度）となって
Ｐ＝ＥＩｃｏｓθ＝０
ですが、
無効電力は、
Ｑ＝ＥＩｓｉｎθ＝ＥＩ
となって、全部無効電力となっている図形だったのです。
単位は、［Ｗ］ではなく、［Ｖａｒ］を用います。
また、単なる ＥＩ を皮相電力と呼んでいて
単位は、［ＶＡ］ ボルトアンペア を用います。
こちらは、馴染みのある単位だと思います。
「空間ベクトル」のことで、通常は３次元で表現します。）との
考え方の相違について今回注目してみました。
そして
一般ベクトル（空間ベクトル）と
複素平面上に表した回転ベクトル（複素ベクトル）との
計算の違いについての説明を交流電力を事例にとり説明します。
（解答）
一般のベクトルは空間内で（３次元的に）与えられていますが、
交流理論で用いる回転ベクトルは、平面内で計算できるように
複素平面で考えています。
一般ベクトルの乗法（かけ算のこと）には、スカラ積（内積のこと）と
ベクトル積（外積のこと）がありますが、複素平面の場合には
これらのことは考えません。単に複素数の積だけを取り扱います。
次に平面上に表した二つのベクトルを
Ａ＝ｉａ１＋ｊａ２
｝．．．（ａ）
Ｂ＝ｉｂ１＋ｊｂ２
ここで、ｉ，ｊは、それぞれｘ，ｙ方向の単位ベクトルとします。
これが、複素平面では、ｘ方向の単位ベクトルｉは省略して、
次のように置いています。
Ａ＝ａ１＋ｊａ２
｝．．．（ｂ）
Ｂ＝ｂ１＋ｊｂ２
まず、式（ａ）で表すベクトルの計算例を示しますと
（和と差）
Ａ±Ｂ＝ｉ（ａ１＋ｂ１）±ｊ（ａ２＋ｂ２） ．．．（ｃ）
（積）
Ａ・Ｂ＝（ｉａ１＋ｊａ２）（ｉｂ１＋ｊｂ２）
＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２
＝ＡＢｃｏｓθ （スカラ積）
．．．（ｄ）
Ａ×Ｂ＝（ｉａ１＋ｊａ２）×（ｉｂ１＋ｊｂ２）
＝ｋ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）
＝ｋＡＢｓｉｎθ （ベクトル積）
．．．（ｅ）
ここで、ｋはｚ軸方向の単位ベクトルです。
※（今までの電磁気学でのベクトル計算を
２次元（平面）で計算しただけなので
何も難しいところはありません。）
一方、式（ｂ）で表す複素ベクトルの
和と差については、式（ｃ）のｉ＝１
と置くことにより、一致しています。
ところが、積については、
ＡＢ＝（ａ１＋ｊａ２）（ｂ１＋ｊｂ２）
＝（ａ１ｂ１－ａ２ｂ２）＋ｊ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１） ．．．（ｆ）
となりますから、式（ｄ）や式（ｅ）の値とは
何も関係していないことがわかります。
ここで、交流電力について考えますと
交流電力は電圧と電流による仕事ですから
電圧をＡ、電流をＢとして、その相差角をθとしますと
スカラ積ＡＢｃｏｓθで得ることができます。
また、無効電力は、ＡＢｓｉｎθのベクトル積で
得ることができます。
そこで、このような結果を得るためには
前回の事前知識編（１３）で説明しましたように
ＡまたはＢの共役複素数
Ａ*＝ａ１－ｊａ２
｝ ．．．（ｇ）
Ｂ*＝ｂ１－ｊｂ２
を用いて計算すれば
たとえば
ＡＢ*＝（ａ１＋ｊａ２）（ｂ１－ｊｂ２）
＝（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２）＋ｊ（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）
となって、
実部はスカラ積、
虚部はベクトル積
というようなかたちになるのです。
(無効電力について）
本文中に無効電力の定義をきちんと
述べていませんでした。
第２章･･･ポイチングベクトル･複素電力･･･の事前知識編（１１）
平均電力最終とこれまでの理論へ補足
http://jo3krp-o.at.webry.info/201310/article_2.html
で表示した波形のような電力となります。
このときは、θ＝π／２ （９０度）となって
Ｐ＝ＥＩｃｏｓθ＝０
ですが、
無効電力は、
Ｑ＝ＥＩｓｉｎθ＝ＥＩ
となって、全部無効電力となっている図形だったのです。
単位は、［Ｗ］ではなく、［Ｖａｒ］を用います。
また、単なる ＥＩ を皮相電力と呼んでいて
単位は、［ＶＡ］ ボルトアンペア を用います。
こちらは、馴染みのある単位だと思います。
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