静電気／誘電体（２）分極（３）分極の強さＰの示す式

　ここで誘電体内に体積ｖを囲む閉曲面Ｓをとり、

その上の微小面積ｄＳに立てた外向き法線の

単位ベクトルをｎとしますと電荷の変位ｓの

法線成分はｓ・ｎとなります。

したがって高さがｓ・ｎで底面積がｄＳの

微小体積内に含まれる電荷ρ（ｓ・ｎ）ｄＳは、

分極のためにｄＳの部分を通って外に出て行く

電荷の量と等しくなります。

すると式（５）から

ρ（ｓ・ｎ）ｄＳ＝Ｐ・ｎｄＳ

となりますから、閉曲面Ｓ全体を通る電荷は

∫Ｐ・ｎｄＳ＝∫ＰｎｄＳ　．．．．（７）
Ｓ　　　　　　Ｓ

で与えられます。この電荷の移動によって、

閉曲面Ｓで囲まれる体積ｖ内には異符号の

電荷が現れます。

この分極電荷の体積密度をρ’としますと

Ｓ面から出た電荷は　－∫ρ’ｄｖ　に
　　　　　　　　　　　　　　　　ｖ

等しいはずです。

∴

∫Ｐ・ｎｄＳ＝－∫ρｄｖ
Ｓ　　　　　　　ｖ

さらに左辺に（ベクトル解析学の）ガウスの定理を

適用して、面積分から体積分へと置き換えますと


　※（ガウスの定理）

　　　ベクトルの発散（その４）ガウスの定理
　　　　http://jo3krp-o.at.webry.info/201207/article_1.html

　　　　注意点　

　　　静電気の「電位」で習う「ガウスの法則」とは違います。

　　　ガウスの定理は、数学の定理です。）


∴

∫ｄｉｖＰｄｖ＝－∫ρ’ｄｖ
ｖ　　　　　　　　ｖ

この関係は、誘電体のどこでも成り立たなければなりません。

よって、任意の点において

ｄｉｖＰ＝ρ’　．．．．（８）

が成立します。


　一般に分極の強さＰは誘電体内で、その位置によって

異なっていますが、もしもこれが一様のときは

Ｐは一定ですから

ｄｉｖＰ＝０
　　　　　　　｝．．．．（９）
∴　ρ’＝０

となって、誘電体の内部には分極電荷は現れず、

その端面だけに現れます。