ベクトルポテンシャル（その５）前回のラプラシアンの展開式の補足

前回の補足ですが

　３次元極座標（球座標）表示（最終分）ラプラシアン
　http://jo3krp-o.at.webry.info/201210/article_12.html

でラプラシアンの球座標の成分表示を最終形（６）式から実施しましたが、

別の形で展開した１つ前の式

▽^2Ｖ＝（１／ｒ^2ｓｉｎθ）［（∂／∂ｒ）｛（ｒ^2ｓｉｎθ）（∂Ｖ／∂ｒ）｝

　　　　　　　　＋（∂／∂θ）｛ｓｉｎθ（∂Ｖ／∂θ）｝

　　　　　　　　　　　＋（∂／∂φ）｛（１／ｓｉｎθ）（∂Ｖ／∂φ）｝］．．．．（５）


この式（５）へ　∂／∂θ項と∂／∂φの項をゼロと考えますと

一番上の段の式部分だけが残ります。

∴　▽^2Ｖ＝（１／ｒ^2ｓｉｎθ）（∂／∂ｒ）｛（ｒ^2ｓｉｎθ）（∂Ｖ／∂ｒ）｝

（１／ｓｉｎθ）を∂／∂ｒ内に入れ込みますとｓｉｎθ／ｓｉｎθで１になります。

　（何故なら、この場合のθはｒに関係しないので、微分式内への出入りが可能）

∴　▽^2Ｖ＝（１／ｒ^2）（∂／∂ｒ）｛ｒ^2（∂Ｖ／∂ｒ）｝

となりますが、さらに　Ｖがｒだけの関数ということで

上式は、偏微分式から微分式に変わります。


（アンテナ本で本節で使用する重要公式と紹介されている式）

∴　▽^2Ｖ＝（１／ｒ^2）（ｄ／ｄｒ）｛ｒ^2（ｄＶ／ｄｒ）｝　．．．（５－２）

となります。


（以下は、アンテナ本のとおりの微分方程式の解法部分で）

　この式が０となる式がラプラスの方程式なので

（１／ｒ^2）（ｄ／ｄｒ）｛ｒ^2（ｄＶ／ｄｒ）｝＝０

となる微分方程式を解くと答えが出てきます。

両辺をｄｒで積分すると

ｒ^2（ｄＶ／ｄｒ）＝Ｃ　（Ｃ；積分定数）

さらにもう一度ｄｒで積分すると

Ｖ＝∫（Ｃ／ｒ^2）ｄｒ

　＝Ｃ’／ｒ＋Ｃ”　（Ｃ’Ｃ”は共に積分定数）

前回と同じく、ｒ＝∞のとき、Ｖ＝０の条件と代入することにより

Ｃ”＝０

が求まります。

※これ以降の特殊解の部分は、先のブログの展開どおり。


（解法の微分方程式が違った理由について）

実は、アンテナ本では、この節の冒頭にて

式（５－２）が重要公式として表示されており、

直ぐにこの式（５－２）からの

微分方程式の解法が始まっていました。

この公式が、どのように導きだされたのかよく検証せず

勝手に先に紹介した式（６）から展開してしまいました。

その部分の式が次の式となりました。


▽＾2Ｖ＝（１／ｒ）｛（ｄ^2／ｄｒ^2）ｒＶ｝．．．（６－２）


式（５－２）とは、微妙に違いは、ありますが、

この式からの展開でも何ら問題ないことが確認できました。

とはいえ

アンテナ本の公式からの展開式は、今回補足で実施したほうです。