ベクトルポテンシャル補足(12)での「球の表面積」を求める証明

 前回は、面積分の公式で球の表面積を求めるとよいとわかり、

さらに球の表面積は、数学でお馴染みのように4πr^2ですから

そのままこの値へと置き換えしましたが、

それでは、高校数学から大学初等程度の物理学に至るまでの

きちんとした理論を使った説明が、できていませんでした。

となると

「それは、いつやるのかと言えば、今でしょ。」

という有名なフレーズのとおり、

今回片付けておきます。

面積分についてのより厳密な考え方で解きますと

画像



図で示すように球座標での半径rの大きさの球の表面積の一部を占める

微小面積ΔSを球座標成分である(r,θ,φ)で表しますと

まず 線分AB≒円弧AB=rΔθ これで

直方体と見なしたΔSの一辺が決まりました。

もう片側、線分ADを求めますと

 線分EO=rsinθ

 よって、円弧EF=(rsinθ)Δφ=円弧AD≒線分AD

∴ ΔS=□ABCD=線分AB×線分AD

    =(r^2sinθ)ΔθΔφ

ここで、微小面積の極限をとれば Δ→d となって

dS=(r^2sinθ)dθdφ

この微小面積をθを0からπ、φを0から2πまでの

2重積分をしますと

球全体の表面積Sとなりますから

S=∫dS
  s

  2π π
 =∫ ∫ (r^2sinθ)dθdφ ....(1)
  0  0

ここで、rは、dθとdΦのどちらにも関係しないので積分の外に出ます。

また、

 π               π 
 ∫sinθdθ =[-cosθ] 
 0                0

         =-(-1-1)=2

すると式(1)は、
 
     2π
S=r^2(∫2dφ)
     0

 =4πr^2

となって、球の表面積が求まりました。

(参考)

球座標での微小長や微小面積をとる場合に

球座標との関係は、次図を参考にして下さい。

画像


3次元のものを2次元座標にそれぞれ分けて示しました。

★★誤りの訂正★★

コメントの記載のとおり、

積分範囲の誤りがありました。

上善如水 さんのご指摘により

判明しました。

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この記事へのコメント

2013年12月04日 13:32
球の表面積を求める方法に興味があり、このブログを見させていただきました。その中の、

 2π             2π
 ∫sinθdθ =[-cosθ] 
 0               0

         =-(-1-1)=2

の部分ですが、-cos2π=-1、-cos0=-1 で、
-1-(-1)=0 となり、どうして2になるのかがわかりません。数学的知識は乏しいのですが、2になる計算方法を、ぜひお教え願います。
よろしくお願いいたします。
2013年12月06日 18:35
コメントいただきありがとうございます。
ご指摘の部分の積分範囲が間違っております。
気づかなくてご迷惑をおかけしてしまいました。
正しくは、
2π π
∫ ∫(r^2sinθ)dθdφ ....(1)
0  0
となっていて、
ご指摘の積分は、
π              π
∫sinθdθ =[-cosθ]
0               0

となって、cosπ=-1
となるために

=-(-1-1)=2

となるのでした。

誤り箇所をご指摘いただいて
大変感謝しています。
JL1XOX
2019年12月26日 15:36
角度θとθ+dθによって作られる帯状面積を角度0からπまで積分した方が変数が一つで計算しやすいですよ。

半径rの時、角度θ及びθ+dθによってできる帯状面積をdsとすると、
 ds=rdθ・2πrsinθ
  =2πr^2 sinθ dθ
球の表面積Sは、
   π
 S=∫ ds
0

    π
  =∫ 2πr^2 sinθ dθ
0

    π
  =2πr^2∫ sinθ dθ
0

    π
  =2πr^2 [ -cosθ]
0
=2πr^2 (-cosπ+cos0)
=2πr^2 (1+1)
=4πr^2

1技の試験問題が記述式だった時によく模範回答で解説されていた手法です。
JO3KRP
2020年02月22日 08:56
コメント表示確認が迷惑メール扱いとなっていて、表示が遅れて申し訳ありません。より分かりやすい数式を紹介いただいて感謝します。

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