直交曲線座標表示（その３）２次元極座標でヤコビアンから面要素を求める。

これから使いたい数学式のほうを先に予習しましたので、

本来の流れが中断してしまっていました。

ここから元の流れに戻りまして


７　ヤコビアン（ヤコビの行列式）を用いた積分変数の変換

　多重積分をおこなう際、直交座標から円柱座標や極座標へと

変換する際に使用するのに使う変換式が

ヤコビアンあるいはヤコビの行列式と呼ばれるものです。

２次元の場合には、

∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）

　　　 ｜∂ｘ／∂ｕ　∂ｘ／∂ｖ｜
　　＝｜　　　　　　　　　 　　 　｜
　　　 ｜∂ｙ／∂ｕ　∂ｙ／∂ｖ｜

がヤコビの行列式です。

これを使えば

∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ　＝

　　∫Ｆ｛ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ）｝｜∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）｜ｄｕｄｖ

　※　上の｜　｜は、絶対値の表示

１例として、２次元極座標の変換をヤコビアンで行います。

以前に極座標の面要素ｄＳを求める事例を参照しながら

　　直交曲線座標表示（その２）２次元極座標の積分変数変換
　　　http://jo3krp-o.at.webry.info/201209/article_10.html
　　
今回は、次図で示すように

（ｘ，ｙ）座標と（ｒ，θ）座標の関係を示しました。

これから

（ｘ，ｙ）と（ｒ，θ）の関係を見いだしますと

ｘ＝ｒｃｏｓφ

ｙ＝ｒｓｉｎφ

ここで、一般座標で示す、ｕ，ｖ座標のほうは、

ｕ＝ｒ　ｖ＝φ　となりますから


∂ｘ／∂ｒ＝ｃｏｓφ　∂ｘ／∂φ＝－ｒｓｉｎθ

∂ｙ／∂ｒ＝ｓｉｎφ　∂ｙ／∂φ＝ｒｃｏｓφ

これからヤコビアンを求めますと

∂（ｘ，ｙ）／∂（ｒ，φ）

　　　 ｜∂ｘ／∂ｒ　∂ｘ／∂φ｜
　　＝｜　　　　　　　　　　 　　　｜
　　 　｜∂ｙ／∂ｒ　∂ｙ／∂φ ｜

　　　 ｜ｃｏｓφ　－ｒｓｉｎθ｜
　　＝｜　　　　　　　　　　 ｜
　 　　｜ｓｉｎφ　　ｒｃｏｓφ ｜

　　＝ｒ（ｃｏｓ^2φ＋ｓｉｎ^2φ）

　　＝ｒ

となって、

具体的に極座標で図形で求めた先の事例の

変換係数　ｒ　と一致しました。

よって

面要素ｄＳは、

ｄＳ＝ｒｄｒｄφとなり、

積分式においては

∫Ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∫Ｆ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθ

と積分式の変換が行えるわけです。