直交曲線座標表示（２次元）曲線座標と全微分式

ここから少しだけ高校数学レベルからハードルが上がります。

２次元での一般的な曲線座標を利用して

これへ２次元の直交直線座標（通常のｘ、ｙで示す直交座標のこと）

から座標変換するための一般的な条件について考えていきます。

今後、途中過程において、「ヤコビアン」なる聞き慣れない名前の式が

登場しますが、

それについては、ここの内容を読み進むにつれ、

自ずと理解できますので、ここではまだ解説しません。


７　２次元での一般的な曲線座標

　一般的に、２次元直交直線座標（ｘ，ｙ）が曲線座標（ｕ，ｖ）を用いて

ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ），ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）と表せるとします。

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　曲線座標とは？

　点Ｐの位置ベクトルが、２変数ｕ，ｖの関数としてｒ（ｕ，ｖ）と

表せるとしますと、ｕ，ｖの変化にともなって点Ｐは１つの曲面Ｓを描きます。

このとき、変数ｖを固定してｕだけ変化させると、

点Ｐは曲面Ｓ上で１つの曲線を描きます。

この曲線をｕ曲線といいます。

　同様にしてｖ曲線も定義できます。

また、曲面Ｓ上の数の組（ｕ，ｖ）を曲線座標といいます。
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さらに、数学の知識としていくつか先に補足していきます。

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全微分式から合成関数の偏微分式

３変数関数φ（ｘ，ｙ，ｚ）において

ｄφ＝（∂φ／∂ｘ）ｄｘ＋（∂φ／∂ｙ）ｄｙ＋（∂φ／∂ｚ）ｄｚ　．．．．（１）

を関数φ（ｘ，ｙ，ｚ）の全微分といいました。

この全微分ｄφは、ｚ，ｙ，ｚの微小変化ｄｘ，ｄｙ，ｄｚに対する

φの微小変化を求めるものです。

ここで、関数φ（ｘ，ｙ，ｚ）において、

ｘ，ｙ，ｚが２変数ｕ，ｖに依存して変化する場合には

合成関数の偏微分式

∂φ／∂ｕ＝（∂φ／∂ｘ）（∂ｘ／∂ｕ）

　　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｙ）（∂ｙ／∂ｕ）

　　　　　　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｚ）（∂ｚ／∂ｕ）　．．．．（２）

∂φ／∂ｖ＝（∂φ／∂ｘ）（∂ｘ／∂ｖ）

　　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｙ）（∂ｙ／∂ｖ）

　　　　　　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｚ）（∂ｚ／∂ｖ）　．．．．（３）

となることを証明します。

（証明）

関数φ（ｘ，ｙ，ｚ），ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ）において

式（１）を適用すると

ｄφ＝（∂φ／∂ｘ）ｄｘ＋（∂φ／∂ｙ）ｄｙ＋（∂φ／∂ｚ）ｄｚ

ｄｘ＝（∂ｘ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｘ／∂ｖ）ｄｖ

ｄｙ＝（∂ｙ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｙ／∂ｖ）ｄｖ

ｄｚ＝（∂ｚ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｚ／∂ｖ）ｄｖ

この後ろ３式を最初の式に代入すれば

ｄφ＝（∂φ／∂ｘ）（（∂ｘ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｘ／∂ｖ）ｄｖ）

　　　　＋（∂φ／∂ｙ）（（∂ｙ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｙ／∂ｖ）ｄｖ）

　　　　　　＋（∂φ／∂ｚ）（∂ｚ/∂ｕ）ｄｕ＋（∂ｚ／∂ｖ）ｄｖ）


　　＝｛（∂φ／∂ｘ）（∂ｘ／∂ｕ）
　　　
　　　　　＋（∂φ／∂ｙ）（∂ｙ／∂ｕ）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　＋（∂φ／∂ｚ）（∂ｚ／∂ｕ）｝ｄｕ

　　
　　　　＋｛（∂φ／∂ｘ）（∂ｘ／∂ｕ）
　　　
　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｙ）（∂ｙ／∂ｕ）
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　＋（∂φ／∂ｚ）（∂ｚ／∂ｕ）｝ｄｖ　．．．．（４）


となります。

一方で

φは変数ｕ，ｖの関数と考えることができます。

よって、全微分式により

　　ｄφ＝（∂φ／∂ｕ）ｄｕ＋（∂φ／∂ｖ）ｄｖ　．．．．（５）

と表すことができて、

式（４）と式（５）のｄｕの前（　）内の式どうしから
　
式（２）が成り立ちます。

また、式（４）と式５のｄｖの前（　）内の式どうしから

式（３）が成り立ちます。

以上で証明できました。

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次回は、以前やりました線積分の復習から

ベクトル関数の積分を補足します。