無指向性アンテナ（等方性）の電力を交流理論で－基準アンテナの設定－
まず、基準となるアンテナの空間における電力を求めます。
先に示したカージオイド特性からアンテナの指向性利得を計算するためには、
比較するアンテナを定義しておく必要があります。
指向性利得というのは、無指向性アンテナ
（現実には、無指向性アンテナは、実在しない。）
との最大ビーム方向での電力比の比較をいいます。
というのは、アンテナは、増幅作用があるわけではなく、
アンテナ全体の利得は、常に１以下です。
指向性があるため、ある一定方向だけに電力が集中するという意味です。
（アンテナ利得の参考）
よくある勘違いは、
高調波で乗る１／２λ波長より長いアンテナには、１／２λＤＰより指向性利得があります。
この利得は、ダイポールのようにはっきりとした主ローブに対してではなく、
四方八方にばらけたローブのごく狭い方向のみに適用されます。
従って、利得が働く方向は、かなり限られた方向でしかも分散しています。
それでは、アンテナが高利得であるとは、言い難い動作となります。
（事例 ７ＭＨｚＤＰを２１ＭＨｚで利用 又は、３／４λスローパー等）
さて、話も戻し、ここで、電力とは、
交流理論から 当然、
Ｐ＝Ｅ×Ｉ
ですから、
これに Ｉ＝Ｅ／Ｒ
（ この場合Ｒは、空間の電波インピーダンスとなる。）
を適用して
Ｐ＝Ｅ＾２（Ｅの２乗の意味）／Ｒ
すなわち、電界強度Ｅの２乗と比例関係となることを意味します。
但し、このままでは空間電波の電力計算に適用できません。
図面１は、
実際にあり得ない無指向性アンテナ
（等方性＝アイソロピック）
を原点０に置いた場合の
原点から距離ｒだけ離れた球表面全体の電力を考えます。
図面は、円ですが、立体的な球であると見て下さい。
ここで、まずピンク色をつけた部分の表面積を求めます。
Δθは、極小さい角度という意味で、普通の角度と同じです。
Δ円弧の長さ＝ｒ・Δθ
これは、ラジアンの定義そのままで
角度（ラジアン）＝円弧／半径
ゆえに Δθ＝円弧／ｒ
∴ 円弧＝ｒ・Δθ
また、球の表面の角度θ位置での球の円周を求めると
ｘ軸からの距離＝ｒ・ｓｉｎθが半径となる円周となり
円周長＝２π（ｒｓｉｎθ）
これとΔ円弧と掛けると球の表面の一部の面積が求まります。
Δ球表面積＝２π・ｒ＾２・ｓｉｎθ・Δθ
この微小面積を０からπまで、全て足し込むことを積分
（この場合、範囲が０からπと定まっているという意味で、定積分）
すると呼びます。
これを記号で書くと ∫ （インテグラル） 記号となります。
この記号の上下についているの数値が、積分する区間範囲です。
（ここでは、０とπ）
高校２年か３年あたりの数学で、この定積分は習っているはずですが、
詳しくは、ネット検索して下さい。
π
よって 円の表面積＝２π（ｒ＾２）∫ｓｉｎθｄθ ・・ （ Ａ ）
０
※2πは、定数で、半径ｒも角度に関係がない定数のため、
∫記号の中からそのまま出せます。
また、一方、電磁気や交流理論の概念を拡大して考えますと
電界強度Ｅでは、距離ｒ離れると、その距離に反比例しますが、
原点０であった電界強度Ｅ０から見ると
Ｅ ＝ Ｅ0／４πｒ
電力Ｐとなると 距離の２乗に反比例することになります。
同様に原点０で、アンテナに注入した電力Ｐ０からは、
Ｐ ＝ Ｐ0／４πｒ＾２
これは、すなわち、割り算の定数項は、この球全体の表面積を表しています。
π π
球表面積＝∫ ２π ｒｓｉｎθ・ ｒｄθ ＝２π・-ｒ＾２×｛cosθ｝
０ ０
ここで cosπ＝－１ ｃｏｓ０＝１ から
球の表面積＝４π（ｒ＾２） を得ます。 （）は、以降省略
このため、
この球面上の電力密度｛ｗ／㎡｝＝Ｐ０／４πｒ＾２
これとＡ式と組み合わせて
球表面上を外側へ出て行く全電力Ｐは、
Ｐ＝電力密度｛ｗ／㎡｝×球の表面積｛㎡｝
π
＝（Ｐ０／４πｒ＾２）×２π（ｒ＾２）∫ｓｉｎθｄθ
０
π
＝（Ｐ０／２）∫ｓｉｎθｄθ
０
π
＝（Ｐ０／２）∫１・ｓｉｎθｄθ ・・・（Ｂ）
０
を得ます。
積分式を解いてやれば
π
積分式＝｛－cosθ｝＝－｛（－１）－１｝＝２
０
従って 式Ｂは、結局 Ｐ＝Ｐｏ となります。
これが、等方性アンテナが放射する電力です。
積分内の１は、このアンテナの電力指向特性Ｓ（θ）=1 の時だからです。
このゲインが１倍と考えて、今後は、等方性円の半径を１で表現していきます。
次に測定したいアンテナの電力指向図から求まる関数（曲線を描く）Ｓ（θ）を使って、表現すると
（Ｂ）式の積分内にＳ（θ）が入ります。
よって、被測定アンテナの球表面上における電力Ｐａは、
Ｐａ＝（Ｐ０／２）∫Ｓ（θ）・ｓｉｎθｄθ ・・・（ｃ）
で求めることができます。
この場合、指向性があるために球表面電力は、等方性アンテナに較べると減少します。
この減少分の逆数が、アンテナのゲインとなって現れます。
すなわち、ここでは、ゲインＧｉ＝１／（Ｐａ／Ｐ）となって、
結局 Ｇｉ＝Ｐ／Ｐａです。
ここで、Ｓ（θ）の積分結果から得た倍数を電力指向特性図に掛けて作図を行うと
被測定アンテナの最大指向特性を有する方向のグラフと大きさ１の等方円と比較すれば
被測定アンテナ電力／等方性アンテナ電力＝ゲインＧｉとなって、先の計算と一致します。
但し、今回は、計算式から直接求めることを主眼として、説明しています。
※黄色マーカ部を修正・追加して補正 ２００９／１０／２７
このゲインを １０×ｌｏｇＧｉ としたのが、皆さんお馴染みの ｄＢｉ 表記のゲインです。
これを、アンテナの教科書では、絶対利得と表現します。
事例 ゲイン２倍となるアンテナの場合 １０ｌｏｇ２＝１０×０．３＝３ ｄＢｉ
先に示したカージオイド特性からアンテナの指向性利得を計算するためには、
比較するアンテナを定義しておく必要があります。
指向性利得というのは、無指向性アンテナ
（現実には、無指向性アンテナは、実在しない。）
との最大ビーム方向での電力比の比較をいいます。
というのは、アンテナは、増幅作用があるわけではなく、
アンテナ全体の利得は、常に１以下です。
指向性があるため、ある一定方向だけに電力が集中するという意味です。
（アンテナ利得の参考）
よくある勘違いは、
高調波で乗る１／２λ波長より長いアンテナには、１／２λＤＰより指向性利得があります。
この利得は、ダイポールのようにはっきりとした主ローブに対してではなく、
四方八方にばらけたローブのごく狭い方向のみに適用されます。
従って、利得が働く方向は、かなり限られた方向でしかも分散しています。
それでは、アンテナが高利得であるとは、言い難い動作となります。
（事例 ７ＭＨｚＤＰを２１ＭＨｚで利用 又は、３／４λスローパー等）
さて、話も戻し、ここで、電力とは、
交流理論から 当然、
Ｐ＝Ｅ×Ｉ
ですから、
これに Ｉ＝Ｅ／Ｒ
（ この場合Ｒは、空間の電波インピーダンスとなる。）
を適用して
Ｐ＝Ｅ＾２（Ｅの２乗の意味）／Ｒ
すなわち、電界強度Ｅの２乗と比例関係となることを意味します。
但し、このままでは空間電波の電力計算に適用できません。
図面１は、
実際にあり得ない無指向性アンテナ
（等方性＝アイソロピック）
を原点０に置いた場合の
原点から距離ｒだけ離れた球表面全体の電力を考えます。
図面は、円ですが、立体的な球であると見て下さい。
ここで、まずピンク色をつけた部分の表面積を求めます。
Δθは、極小さい角度という意味で、普通の角度と同じです。
Δ円弧の長さ＝ｒ・Δθ
これは、ラジアンの定義そのままで
角度（ラジアン）＝円弧／半径
ゆえに Δθ＝円弧／ｒ
∴ 円弧＝ｒ・Δθ
また、球の表面の角度θ位置での球の円周を求めると
ｘ軸からの距離＝ｒ・ｓｉｎθが半径となる円周となり
円周長＝２π（ｒｓｉｎθ）
これとΔ円弧と掛けると球の表面の一部の面積が求まります。
Δ球表面積＝２π・ｒ＾２・ｓｉｎθ・Δθ
この微小面積を０からπまで、全て足し込むことを積分
（この場合、範囲が０からπと定まっているという意味で、定積分）
すると呼びます。
これを記号で書くと ∫ （インテグラル） 記号となります。
この記号の上下についているの数値が、積分する区間範囲です。
（ここでは、０とπ）
高校２年か３年あたりの数学で、この定積分は習っているはずですが、
詳しくは、ネット検索して下さい。
π
よって 円の表面積＝２π（ｒ＾２）∫ｓｉｎθｄθ ・・ （ Ａ ）
０
※2πは、定数で、半径ｒも角度に関係がない定数のため、
∫記号の中からそのまま出せます。
また、一方、電磁気や交流理論の概念を拡大して考えますと
電界強度Ｅでは、距離ｒ離れると、その距離に反比例しますが、
原点０であった電界強度Ｅ０から見ると
Ｅ ＝ Ｅ0／４πｒ
電力Ｐとなると 距離の２乗に反比例することになります。
同様に原点０で、アンテナに注入した電力Ｐ０からは、
Ｐ ＝ Ｐ0／４πｒ＾２
これは、すなわち、割り算の定数項は、この球全体の表面積を表しています。
π π
球表面積＝∫ ２π ｒｓｉｎθ・ ｒｄθ ＝２π・-ｒ＾２×｛cosθ｝
０ ０
ここで cosπ＝－１ ｃｏｓ０＝１ から
球の表面積＝４π（ｒ＾２） を得ます。 （）は、以降省略
このため、
この球面上の電力密度｛ｗ／㎡｝＝Ｐ０／４πｒ＾２
これとＡ式と組み合わせて
球表面上を外側へ出て行く全電力Ｐは、
Ｐ＝電力密度｛ｗ／㎡｝×球の表面積｛㎡｝
π
＝（Ｐ０／４πｒ＾２）×２π（ｒ＾２）∫ｓｉｎθｄθ
０
π
＝（Ｐ０／２）∫ｓｉｎθｄθ
０
π
＝（Ｐ０／２）∫１・ｓｉｎθｄθ ・・・（Ｂ）
０
を得ます。
積分式を解いてやれば
π
積分式＝｛－cosθ｝＝－｛（－１）－１｝＝２
０
従って 式Ｂは、結局 Ｐ＝Ｐｏ となります。
これが、等方性アンテナが放射する電力です。
積分内の１は、このアンテナの電力指向特性Ｓ（θ）=1 の時だからです。
このゲインが１倍と考えて、今後は、等方性円の半径を１で表現していきます。
次に測定したいアンテナの電力指向図から求まる関数（曲線を描く）Ｓ（θ）を使って、表現すると
（Ｂ）式の積分内にＳ（θ）が入ります。
よって、被測定アンテナの球表面上における電力Ｐａは、
Ｐａ＝（Ｐ０／２）∫Ｓ（θ）・ｓｉｎθｄθ ・・・（ｃ）
で求めることができます。
この場合、指向性があるために球表面電力は、等方性アンテナに較べると減少します。
この減少分の逆数が、アンテナのゲインとなって現れます。
すなわち、ここでは、ゲインＧｉ＝１／（Ｐａ／Ｐ）となって、
結局 Ｇｉ＝Ｐ／Ｐａです。
ここで、Ｓ（θ）の積分結果から得た倍数を電力指向特性図に掛けて作図を行うと
被測定アンテナの最大指向特性を有する方向のグラフと大きさ１の等方円と比較すれば
被測定アンテナ電力／等方性アンテナ電力＝ゲインＧｉとなって、先の計算と一致します。
但し、今回は、計算式から直接求めることを主眼として、説明しています。
※黄色マーカ部を修正・追加して補正 ２００９／１０／２７
このゲインを １０×ｌｏｇＧｉ としたのが、皆さんお馴染みの ｄＢｉ 表記のゲインです。
これを、アンテナの教科書では、絶対利得と表現します。
事例 ゲイン２倍となるアンテナの場合 １０ｌｏｇ２＝１０×０．３＝３ ｄＢｉ
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