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zoom RSS 複素数計算:交流理論の記号法(7)複素数の乗除とベクトル(2)ベクトルの割り算

<<   作成日時 : 2016/08/26 07:48   >>

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 今回行なう除法(すなわち、割り算)がどうしても
前回示した(7.77)式に必要な考え方となるはずです。

電磁気学で習う、3次元空間のベクトル計算では、
このようなベクトルどうしの割り算は考える必要が
ありませんでした。
(割り算はあり得ないのです。)

しかし、交流理論における複素平面上でのベクトル計算では
このベクトルどうしの割り算が定義されているのです。

しかも、実数計算と何ら矛盾を生じないかたちで
その定義が行なわれていることに人間の英知の
深さを思い知ることができました。

2 除法

複素数A1を複素数A2で割るとその商Aは

   a1+jb1
A=─────
   a2+jb2


    a1+jb1   a2−jb2
A=─────・─────
    a2+jb2   a2−jb2


    a1a2+b1b2     a2b1−a1b2
 =─────── +j───────
    a2^2+b2^2      a2^2+b2^2


このベクトルAについて

絶対値|A|は

          a1a2+b1b2        a2b1−a1b2
|A|=√{(───────)^2 + (───────)^2 }
           a2^2+b2^2        a2^2+b2^2

     √(a1^2+b1^2)
   =────────
     √(a2^2+b2^2)

    |A1|
   =───
    |A2|


偏角θは

         a1b1−a2b2
θ=tan^-1(───────)
         a1a2+b1b2

         b1    b2
        ── − ──
         a1    a2
 =tan^-1(───────
           b1  b2 
        1+──・──
           a1  a2

        b1         b2   
 =tan^-1(──)− tan^-1(──)
        a1         a2


 =θ1 − θ2


となることがわかりました。

 すなわち、二つのベクトルA1,A2の商を示すベクトルの

大きさは、|A1|を|A2|で除した値で、その偏角は

A1の偏角とA2の偏角の差となります。

このようにベクトルの商を定義すれば、ベクトルの除法もまた

複素数の計算法で与えられるのです。


そして

今回の積と商の関係からみると

式(7.77)式=ベクトルAとみて

この式から一挙に

a+jb

のような形式に変形するのではなく

例えば、分子だけをみて

そのある一部分だけを

a+jb

に置き換えられるであれば

その絶対値を求め、

それらを掛け合わせたものは

分子の絶対値|A1|となります。

次に、分母も同様にして

個々の絶対値を掛けたものが分母の絶対値|A2|です。

そして、今回の商の関係から

分子の絶対値を分母の絶対値で割りますと

求めたいベクトルAつまり(7.77)式

絶対値|A|を求めることができることが

わかりました。

このような計算をすれば、複雑な複素数の式でも
簡単な式に分解して計算していくことが
可能であることがやっと理解できたのです。

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