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zoom RSS 複素数計算:交流理論の記号法(6)複素数の乗除とベクトル

<<   作成日時 : 2016/08/23 07:12   >>

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ここまで、またも時間経過してしまっています。

今年の残暑は大変厳しく、クーラーの無い
無線部屋(実は納戸)ではとても作業が
できないからです。

それと明確な解決の道筋が見えないのが
動作が重たい理由です。

今、もう一度、「電磁波の物理」本を
読み返しています。

残念ながら、
この本では、短波帯のような
低い周波数の電磁波ではなく
マイクロ波以上、それと光の領域となる
レーザー波が対象です。

しかも、通常の電磁気学は習得済みの学生を
対象としているため、基礎からの説明では
ありません。

さて

 今回の複素計算のメインはここからです。

というのも

以前に説明している(7.77)式

     μ1n^2cosi−μ2√(n^2−sin^2i)
 Rv=───────────────      ........(7.77)    
     μ1n^2cosi+μ2√(n^2−sin^2i)


ここで、屈折率nが複素数であって

 n=√(εs−j60σλ)

となるからで、式7.77の分子・分母ともに複素数となるために

複素数の乗除計算がどうしても必要となりました。

それに関し、

今回のベクトル記号法による計算を利用してみようという

全くの思いつきです。


1 乗法

A1=a1+jb1

A2=a2+jb2

この二つのベクトルを複素数で表すと

その積Aは、

A=(a1+jb1)(a2+jb2)

 =(a1a2−b1b2)+j(a1b2+a2b1)


この複素数の積がどのようなベクトルであるかを
調べます。

|A|=√{(a1a2−b1b2)^2+(a1b2+a2b1)^2}

   =√(a1^2+b1^2)√(a2^2+b2^2)

   =|A1||A2|


(∵ 
(a1a2−b1b2)^2=a1^2a2^2−2a1a2b1b2+b1^2b2^2

(a1a2+b1b2)^2=a1^2a2^2+2a1a2b1b2+b1^2b2^2

 ∴ a1^2a2^2+b1^2b2^2+a1^2a2^2+b1^2b2^2
   
 ここから因数分解すれば 

   =(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)
 )


また

偏角θは

       a1b2+a2b1
θ=tan^-1──────
       a1a2−b1b2

        b1   b2
        ─ + ─
        a1   a2
 =tan^-1───────
           b1 b2
        1− ─・─
           a1 a2



 =tan^-1(b1/a1)+ tan^-1(b2/a2)


 
(∵ 

 Arctangent 加法定理

arctan ⁡ u + arctan ⁡ v = arctan ⁡ {(u+v)/( 1 − u v ) ( mod π ) , u v ≠ 1

  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
  
  詳細は上記リンクでのウィキペディアを参照ください。

 )


(これらをまとめて)  }........(3.10)


すなわち、二つのベクトルA1,A2の積を示すベクトルの大きさは

|A1|=√(a1^2+b1^2)と|A2|=√(a2^2+b2^2)の

積であり、その偏角は、A1の偏角tan^-1(b1/a1)と

A2の偏角tan^-1(b2/a2)の和であることが

わかります。

 このようにベクトルの積を定めますと

ベクトルの乗法もまた複素数の計算法で取り扱うことができます。

以上のことから、多くのベクトルA1,A2,・・・・・An の

積Aについては

      n
|A|=ΠAk=|A1||A2|・・・・・|An|
     k=1

ただし、乗法の順序は関係がありません。

偏角は

   n
θ=Σ∠Ak=∠A1+∠A2+・・・・・・+∠An
   k=1
 
                 .........(3.11)
    

特にA1=A2=・・・・・・・=Anのとき、

nが整数ならば、n乗すると

その大きさは、もとのn乗で、偏角はもとのn倍になります。

A=Ak^n
        }        ..........(3.12)
θ=n∠Ak

ただし、nは整数

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